考研数学一（解答题）模拟试卷173 (题后含答案及解析)题型有：1.
1． 讨论函数f(x)=在(一∞，+∞)上的有界性．
正确答案：由f(一x)=可知：f(－x)=f(x) ．所以，f(x)是偶函数．只需证明f(x)在[0，+∞)上有界．又于是，对于存在A>0，当x>A时，有即当x>A时，有0 x∈[0，A]，有0≤f(x)≤M1．取M=max{1，M1}，则对x∈[0，+∞)，有0≤f(x)≤M从而可知，对x∈(一∞，+∞)，有0≤f(x)≤M．
解析：因为f(x)为偶函数，所以只需证明f(x)在[0，+∞)上有界．要证f(x)在[0，+∞)上有界，只要证明存在．(1)要判断函数f(x)在(一∞，+∞)上的有界性，需考察f(x)在间断点x0及在无穷远点的极限．若存在，则f(x)在x0附近有界，若存在，则f(x)在x0的左邻域内有界，若存在，则f(x)在x0的右邻域内有界．若f(x)在(a，b)内连续，又均存在，则f(x)在(a，b)内有界．在闭区间上连续函数一定有界，但在开区间上不连续的函数也可能有界．例如：f(x)在x=0处不连续，但f(x)在(一1，1)内有界．(2)在本题的证明中取(或取其他一个确定的正数)是非常必要的．如果用来证明f(x)在[A，+∞)上有界就是错误的，因为此时的“界”不确定． (3)用变量替换可证明f(x)与其原函数的奇偶性有着密切的联系：若f(x)连续，则 1)为奇(偶)函数f(x)为偶(奇)函数． 2)为偶函数f(x)为奇函数．
2． 设f(x)在[0，+∞)连续，且满足=1．求w=
正确答案：先作恒等变形转化为求型极限，然后用洛必达法则． 涉及知识点：高等数学
3． (Ⅰ)设Ф(χ)在[a，b]二阶可导，Ф〞(χ)≤0，在[a，b]的子区间上Ф〞(χ)≠0，又Ф(a)＝Ф(b)＝0，求证Ф(χ)＞0(χ∈(a，b))． (Ⅱ)设f(χ)在[0，1]上可导，且f(χ)≥0，f′(χ)＜0． 求证：函数F(χ)＝∫0χf(t)dt满足 χF(1)＜F(χ)＜2∫01F(t)dt，χ∈(0，1)．
正确答案：(Ⅰ)由罗尔定理知，c∈(a，b)，Ф′(c)＝0．由Ф′(χ)在[a，b]↘， (χ)在[a，c]↗，在[c，b]↘， Ф(χ)＞Ф(a)＝0(a＜χ≤c)， Ф(χ)＞Ф(b)＝0(c≤χ＜b) 因此，Ф(χ)＞0(a＜χ＜b)． (Ⅱ)令Ф(χ)＝F(χ)－χF(1)，则Ф(χ)在[0，1]二阶可导，在[0，1]区间Ф′(χ)＝f(χ)－F(1)，Ф〞(χ)＝f′(χ)＜0 且Ф(0)＝F(0)＝0，Ф(1)＝F(1)－F(1)＝0． 由题(Ⅰ)得 Ф(χ)＞0(χ∈(0，1)) 即F(χ)＞χF(1)(χ∈(0，1)) 将上式两边在[0，1]积分得 ∫01F(χ)dχ＞∫01χdχ.F(1)＝F(1)． 由F(χ)在[0，1]单调上升，F(1)＞F(χ)(χ∈(0，1)) 2∫01F(χ)dχ＞F(1)＞F(χ)(χ∈(0，1))． 涉及知识点：高等数学
4． 证明，其中n为自然数．
正确答案：利用被积函数的结合性，原式改写成In＝cosn—1xcosxsinnxdx，两式相加得 2In＝cosnn—1(cosxsinnx一sinxcosnx)dxcosnn—1xsin(n—1)xdx＝现得递推公式 令Jn＝2nIn，得．由此进一步得 涉及知识点：高等数学
5． 设(Ⅰ)和(Ⅱ)是两个四元齐次线性方程组，(Ⅰ)的系数矩阵为 (Ⅱ)的一个基础解系为η1＝(2，－1，a＋2，1)T，η2(－1，2，4，a＋8)T． (1)求(Ⅰ)的一个基础解系； (2)a为什么值时(Ⅰ)和(Ⅱ)有公共非零解?此时求出全部公共非零解．
正确答案：(1)把(Ⅰ)的系数矩阵用初等行变换化为简单阶梯形矩阵 得到(Ⅰ)的同解方程组 对自由未知量χ3，χ4赋值，得(Ⅰ)的基础解系γ1＝(5，－3，1，0)T，γ3＝(－3，2，0，1)T． (2)(Ⅱ)的通解为c1η1＋c2η2＝(2c1－c2，－c1＋2c2，(a＋2)c1＋4c2，c1＋(a＋8)c2)T． 将它代入(Ⅰ)，求出为使c1η1＋c2η2也是(Ⅰ)的解(从而是(Ⅰ)和(Ⅱ)的公共解)，c1，c2应满足的条件为： 于是当a＋1≠0时，必须c1＝c2＝0，即此时公共解只有零解． 当a＋1＝0时，对任何c1，c2，c1η1＋c2η2都是公共解．从而(Ⅰ)，(Ⅱ)有公共非零解．此时它们的公共非零解也就是(Ⅱ)的非零解：c1η1＋c2η2，c1，c2不全为0． 涉及知识点：线性方程组
6． 已知A是n阶非零矩阵，且A中各行元素对应成比例，又α1，α2，…，αt是Aχ＝0的基础解系，β不是Aχ＝0的解．证明任一n维向量均可由α1，α2，…，αt，β线性表出．
正确答案：因为矩阵A中各行元素对应成比例，故r(A)＝1，因此t＝n－1． 若k1α1＋k2α2＋…＋kn-1αn-1＋lβ＝0， ① 用A左乘上式，并把Aαi＝0(i＝1，2，…，n－1)代入，得 lAβ＝0． 由于Aβ≠0，故l＝0．于是①式为 k1α1＋k2α2＋…＋kn-1αn-1＝0． ② 因为α1，α2，…，αn-1是基础解系，知α1，α2，…，αn-1线性无关． 从而由②知k1＝0，k2＝0，…，kn-1＝0． 因此α1，α2，…，αn-1，β线性无关． 对任一n维向量γ由于任意n＋1个n维向量α1，α2，…，αn-1，β，γ必线性相关，那么γ必可由α1，…，αn-1，β线性表出． 涉及知识点：线性代数
7． 计算其中∑为x2+y2+z2=1的外侧．
正确答案：12π 涉及知识点：高等数学
8． 设矩阵其行列式｜A｜=一1，又A的伴随矩阵A*有一个特征值为λ0，属于λ0的一个特征向量为α=(一1，一1，1)T，求a、b、c和λ0的值．
正确答案：由题设，有 A*α=λ0α两端左乘A，并利用AA*=｜A｜E=一E(已知｜A｜=一1)，得一α=λ0Aα解之得λ0=1，b=一3，a=c． 由｜A｜=一1和a=c，有=a一3=一1故a=c=2．因此a=2，b=一3，c=2，λ0=1． 涉及知识点：线性代数
9． 证明：当0＜x＜1时，e－2x＞．
正确答案： 涉及知识点：高等数学
10． 设A为3阶矩阵，α1，α2，α3是线性无关的3维列向量，且满足Aα1=α1+α2+α3，Aα2=2α2+α3，Aα3=2α2+3α3． (1)求矩阵B，使A[α1，α2，α3]=[α1，α2，α3]B； (2)求A的特征值； (3)求一个可逆矩阵P，使得P—1AP为对角矩阵．
正确答案：(1)由题设条件，有 A[α1，α2，α3]=[Aα1，Aα2，Aα3]=[α1+α2+α3，2α2+α3，2α2+α3] (2)记矩阵C=[α1，α2，α3]，则由(1)知AC=CB，又因α1，α2，α3是线性无关的3维列向量，知C为3阶可逆方阵，故得C—1AC=B，计算可得丑特征值为λ1=λ2=1，λ3=4，因相似矩阵有相同特征值，得A的特征值为λ1=λ2=1，λ3=4． (3)对于λ1=λ2=1，解方程组(E一B)x=0，得基础解系ξ1=(一1，1，0)T，ξ2=(一2，0，1)T；对应于λ3=4，解方程组(4E—B)x=0，得基础解系ξ3=(0，1，1)T．令矩阵则有P—1AP=diag(1，1，4)，故P为所求的可逆矩阵． 涉及知识点：线性代数
11． 设函数f(x)在[0，π]上连续，且∫0πf(x)sinxdx=0，∫0πf(x)cosxdx=0．证明在(0，π)内f(x)至少有两个零点．
正确答案：反证法，如果f(x)在(0，π)内无零点(或有一个零点，但f(x)不变号，让法相同)，即f(x)＞0(或＜0)，由于在(0，π)内，有sinx＞0，因此，必有∫0πf(x)sinxdx＞0(或＜0)。这与假设相矛盾． 如果f(x)在(0，π)内有一个零点，而且改变一次符号，设其零点为a∈(0，π)，于是在(0，a)与(a，π)内f(x)sin(x一a)同号，因此∫0πf(x)sin(x一a)dx≠0，但是，另一方面 ∫0πf(x)sin(x一a)dx=∫0πf(x)(sinxcosa一cossina)dx =cos∫0πf(x)sinxdx一sina∫0π)f(x)cosxdx=0． 这个矛盾说明f(x)也不能在(0，π)内只有一个零点，因此它至少有两个零点． 涉及知识点：一元函数积分学
12．
正确答案： 涉及知识点：高等数学部分
13． 交换积分次序并计算
正确答案： 涉及知识点：高等数学部分
14． 已知二次型f(x1，x2，x3)=4x22一3x32+4x1x2—4x1x3+8x2x3．(1)写出二次型f的矩阵表达式；(2)用正交变换把二次型f化为标准形，并写出相应的正交矩阵．
正确答案： 涉及知识点：线性代数
15． 计算积分9x2dx+(y－x)dy，其中L：(Ⅰ)是半径为a，圆心在原点的上半圆周，起点A(a，0)，终点B(－a，0)(见图9．2)；(Ⅱ)x轴上由A(a，0)到B(－a，0)的直线段．
正确答案：化成对x的定积分．(Ⅰ)上半圆周的表达式为：y=起点A对应于x=a，终点B对应于x=－a，则(Ⅱ)对于从A(a，0)到B(－a，0)的直线段，则 涉及知识点：多元函数积分的概念、计算及其应用
16． 判别下列级数的敛散性：
正确答案：(Ⅰ)利用比较判别法的极限形式．由于级数发散，而且当n→∞时所以原级数也发散．(Ⅱ)仍利用比较判别法的极限形式．先改写用泰勒公式确定的阶．由于所以收敛．(Ⅲ)注意到0≤收敛，所以原级数也收敛．(Ⅳ)因为函数f(x)=单调递减，所以再采用极限形式的比较判别法，即将=0，所以，级数收敛．再由上面导出的不等式0＜un≤，所以原级数也收敛． 涉及知识点：无穷级数
17．
正确答案： 涉及知识点：高等数学
已知ξ=[1，1，-1]T是矩阵A=的一个特征向量．
18． 确定参数A，b及ξ对应的特征值λ；
正确答案：设A的特征向量ξ所对应的特征值为λ，则有Aξ=λξ，即解得λ=-1，a=-3，b=0． 涉及知识点：线性代数
19． A是否相似于对角阵，说明理由．
正确答案：当a=-3，b=0时，由知λ=-1是A的三重特征值，但当λ=-1时，对应的线性无关特征向量只有一个，故A不能相似于对角阵． 涉及知识点：线性代数
20． 要建一个体积为V的有盖圆柱形氨水池，已知上下底的造价是四周造价的2倍，问这个氨水池底面半径为多大时，总造价最低?
正确答案： 涉及知识点：综合
